太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为M的恒星和质量为m的行星（M>m），在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着，我们可认为行星

Question

太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为：质量为M的恒星和质量为m的行星（M>m），在它们之间的万有引力作用下有规则地运动着，我们可认为行星在以某一定点O为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（如图所示，图中没有表示出恒星）．设万有引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计．求：

（1）恒星与点O间的距离；
（2）恒星运行的周期．

Answer 1

（1）恒星和行星做圆周运动的角速度、向心力的大小均相同，则
对行星m，F=mω²R_m…①
对恒星M，F′=Mω²R_M…②
可得R_M=(m)/(M)a
（2）恒星运动的轨道和位置大致如图，对恒星M有

根据万有引力提供向心力，
(GMm)/((a+RM)2)=m(4π2(a+RM))/(T2)
解得：T=2π√(((a+(m)/(M))3)/(GM))
答：（1）恒星与点O间的距离为(m)/(M)a；（2）恒星运行的周期为2π√(((a+(m)/(M))3)/(GM))．