现有n(n+1)2（n≥2，n∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：设Mk是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M1<M2<…<Mn的概率为pn．（1）求p2的值；（2）证明：pn&g

Question

现有(n(n+1))/(2)（n≥2，n∈N^*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：

设M_k是第k行中的最大数，其中1≤k≤n，k∈N*．记M₁<M₂<…<M_n的概率为p_n．
（1）求p₂的值；
（2）证明：p_n>(C2n+1)/((n+1)!)．

Answer 1

（1）由题意知p₂=(2A22)/(A33)=(2)/(3)，即p₂的值为 (2)/(3)．            
（2）先排第n行，则最大数在第n行的概率为(n)/((n(n+1))/(2))=(2)/(n+1)；   
去掉第n行已经排好的n个数，
则余下的(n(n+1))/(2)-n=(n(n-1))/(2)个数中最大数在第n-1行的概率为(n)/((n(n-1))/(2))=(2)/(n)；
…
故p_n=(2)/(n+1)×(2)/(n)×…×(2)/(3)=(2n-1)/((n+1)×n×…×3)=(2n)/((n+1)!)．   
由于2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ≥C_n⁰+C_n¹+C_n²>C_n¹+C_n²=C_n+1²，
故(2n)/((n+1)!)>(C2n+2)/((n+1)！)，即p_n>(C2n+1)/((n+1)！)．