如图，已知椭圆分别为其左右焦点，A为左顶点，直线l的方程为x=4，过F2的直线l′与椭圆交于异于A的P、Q两点．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若求证：M、N两点的纵坐标之积为定

Question

如图，已知椭圆 分别为其左右焦点，A为左顶点，直线l的方程为x=4，过F ₂ 的直线 l ′与椭圆交于异于A的P、Q两点．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）若 求证： M、N 两点的纵坐标之积为定值；并求出该定值．

Answer 1

如图，已知椭圆 分别为其左右焦点，A为左顶点，直线l的方程为x=4，过F ₂ 的直线 l ′与椭圆交于异于A的P、Q两点．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）若 求证： M、N 两点的纵坐标之积为定值；并求出该定值．

（Ⅰ）①当直线PQ的斜率不存在时，
由F ₂ (1,0)可知PQ方程为 代入椭圆 得
又 ∴ ，    
②当直线PQ的斜率存在时，
设PQ方程为 代入椭圆 得


∴
                  
综上, 的取值范围是
（Ⅱ） AP 的方程为 得
同理,得
∴
1°当k不存在时, =-9 
2°当k存在时,  =-9
∴M,N两点的纵坐标之积为定值-9