已知圆C经（x-1）2+（y-2）2=5经过椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的射线l在第一象限与椭圆E的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求OM

Question

已知圆C经（x-1）²+（y-2）²=5经过椭圆E：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右焦点F和上顶点B．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过原点O的射线l在第一象限与椭圆E的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求

OM

•

OQ

的最大值．

Answer 1

（1）在圆C：（x-1）²+（y-2）²=5中，
令y=0，得F（2，0），即c=2，
令x=0，得B（0，4），即b=4，
∴a²=b²+c²=20，
∴椭圆E的方程为：(x2)/(20)+(y2)/(16)=1．
（2）设点Q（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，
由于M为OP的中点，则CM⊥OQ，
则

OM

•

OQ

=（

OC

+

CM

）•

OQ

=

OC

•

OQ

=（1，2）•（x₀，y₀）
=x₀+2y₀，
又(x02)/(20)+(y02)/(16)=1，
设t=x₀+2y₀，与(x02)/(20)+(y02)/(16)=1联立，得：21y₀²-16ty₀+4t²-80=0，
令△=0，得256t²-84（4t²-80）=0，
解得t=±2√(21)．
又点Q（x₀，y₀）在第一象限，
∴当y₀=(16√(21))/(21)时，

OM

•

OQ

取最大值2√(21)．