椭圆的问题...已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的右焦点为F,上顶点为A,P为椭圆上任意一点,MN是圆x^2+(y-3)^2=1的一条直径.若与AF平行且在y轴上的截距为3-√2的直线l恰好与圆相切.(1)求椭圆离心率;(

Question

椭圆的问题...
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)的右焦点为F,上顶点为A,P为椭圆上任意一点,MN是圆x^2+(y-3)^2=1的一条直径.若与AF平行且在y轴上的截距为3-√2的直线l恰好与圆相切.
(1)求椭圆离心率;
(2)若向量PM 点乘 向量PN的最大值为49,求椭圆的方程.

Answer 1

(1)求椭圆离心率;
设直线l方程为：y=kx+3-√2
右焦点为F(c,0),上顶点为A(0,b),AF的斜率=-c/b<0,所以k<0.
联立圆方程得：x^2+(kx-√2)^2=1
化简得：(k^2+1)x^2-2k√2x+1=0
直线l与圆相切,则：
⊿=(2k√2)^2-4(k^2+1)=0
解得：k=-1
∴-c/b=-1,即b=c,则：a=√2c
∴椭圆离心率e=c/a=√2/2
∴椭圆方程为：x^2/2b^2+y^2/b^2=1
(2)若向量PM 点乘 向量PN的最大值为49,求椭圆的方程.
向量PM 点乘 向量PN=|PM|*|PN|*cos[MPN]
过N作PM的垂线,垂足为K,∵MN是直径,∴垂足K在圆上
∴|PM|*|PN|*cos[MPN]＝|PK|*PM|
记圆心为H,作直线PH交圆于C、D两点,则：CD是圆H的直径.
根据割线定理,|PK|*PM|＝|PC|*|PD|=(PH-r)*(PH+r)=PH^2-1
所以椭圆上的点P离圆心H最远时,向量PM 点乘 向量PN取得最大值.
记：P点坐标为（x,y）,则：
PH^2-1=x^2+(y-3)^2=2b^2-2y^2+y^2-6y+9-1=-y^2-6y+8+2b^2 [-b≤y≤b]
看成y的二次函数,开口向下,对称轴为y=-3
当-b≤-3,即b≥3时,在y=-3时取得最大值
此时,Max{PH^2-1}=-9+18+8+2b^2=49,解得：b^2=16
椭圆方程为：x^2/32+y^2/16=1
当-b>-3,即b<3时,在y=b时取得最大值
此时,Max{PH^2-1}=-b^2-6b+8+2b^2=49,解得：b=√50-3,b^2=53-6√50
椭圆方程为：x^2/(106-12√50)+y^2/(53-6√50)=1