若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次

Question

若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．已知关于x的二次函数y₁=2x²-4mx+2m²+1和y₂=ax²+bx+5，其中y₁的图象经过A（1，1），若y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，则函数y₂的解析式是___．

Answer 1

∵y₁的图象经过点A（1，1），y₁=2x²-4mx+2m²+1，
∴2×1²-4×m×1+2m²+1=1，
整理得：m²-2m+1=0，
解得：m₁=m₂=1，
∴y₁=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，
∴y₁+y₂=2x²-4x+3+ax²+bx+5=（a+2）x²+（b-4）x+8．
∵y₁+y₂与y₁为“同簇二次函数”，
∴y₁+y₂=（a+2）（x-1）²+1=（a+2）x²-2（a+2）x+（a+2）+1，
其中a+2>0，即a>-2．
∴

b-4=-2(a+2)

8=(a+2)+1

，
解得：

a=5

b=-10

，
∴函数y₂的表达式为：y₂=5x²-10x+5．
故答案为y₂=5x²-10x+5．