（2014•惠州模拟）已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，233）．过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为

Question

（2014•惠州模拟）已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，(2√(3))/(3)）．过点P（1，1）分别作斜率为k₁，k₂的椭圆的动弦AB，CD，设M，N分别为线段AB，CD的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为线段AB的中点，求k₁；
（3）若k₁+k₂=1，求证直线MN恒过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

（1）由题意c=1，且右焦点F′（1，0）
∴2a=EF+EF′=2√(3)，b²=a²-c²=2
∴所求椭圆方程为(x2)/(3)+(y2)/(2)＝1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
(x12)/(3)+(y12)/(2)＝1①，(x22)/(3)+(y22)/(2)＝1②
②-①，可得k₁=(y2−y1)/(x2−x1)=-(2(x2+x1))/(3(y2+y1))=-(2)/(3)；
（3）证明：由题意，k₁≠k₂，
设M（x_M，y_M），直线AB的方程为y-1=k₁（x-1），即y=k₁x+k₂，
代入椭圆方程并化简得（2+3k12）x²+6k₁k₂x+3k22−6=0
∴xM＝(−3k1k2)/(2+3k12)，yM＝(2k2)/(2+3k12)
同理，xN＝

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