证明：若函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),则对任何自然数n,存在a属于[0,1],使得f(a+n分之1)=f(a)

Question

证明：若函数f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1),则对任何自然数n,存在a属于[0,1],使得f(a+n分之1)=f(a)

Answer 1

设g(x)=f(x+1/n)-f(x)
则显然g(x)在[0,1-1/n]上连续
且有g(0)+g(1/n)+g(2/n)+……+g(1-1/n)=f(1)-f(0)=0
如果g(0),……,g(1-1/n)都是0,那么令a=1/n满足题意
如果有g(b)不是0,不妨设它大于0
那么至少还有一个g(c)小于0,否则f（0）≠f（1）
由连续函数的介值定理,存在a属于(b,c)包含于(0,1)满足题意