椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2,过F1作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.(1)求椭圆E的方程;(2)若过F1的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF2B为钝角,

Question

椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ₁ ,F ₂ ,焦距为2,过F ₁ 作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F ₁ 的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF ₂ B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

Answer 1

椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ₁ ,F ₂ ,焦距为2,过F ₁ 作垂直于椭圆长轴的弦PQ,|PQ|为3.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过F ₁ 的直线l交椭圆于A,B两点,判断是否存在直线l使得∠AF ₂ B为钝角,若存在,求出l的斜率k的取值范围.

(1) + =1   (2)存在，斜率k的取值范围为- <k<

解:(1)依题意
解得a ² =4,b ² =3,
∴椭圆的方程为 + =1.
(2)①当过F ₁ 的直线AB的斜率不存在时,
不妨取A（-1, ）,B（-1,- ）
则 · = ,显然∠AF ₂ B不为钝角.
②直线l的斜率为k,l方程为y=k(x+1),
由
消去y,整理得(3+4k ² )x ² +8k ² x+4k ² -12=0.
∵直线l与椭圆交于两点,
∴Δ=(8k ² ) ² -4(3+4k ² )(4k ² -12)=4×36(k ² +1)>0.
设A(x ₁ ,y ₁ ),B(x ₂ ,y ₂ ),
则x ₁ +x ₂ =- ,x ₁ ·x ₂ = .
=(x ₁ -1,y ₁ ), =(x ₂ -1,y ₂ ).
∵∠AF ₂ B为钝角,
∴ · <0.
即(x ₁ -1)(x ₂ -1)+y ₁ y ₂ <0,
整理得(k ² +1)x ₁ x ₂ +(k ² -1)(x ₁ +x ₂ )+k ² +1<0.
即(k ² +1)· -(k ² -1)· +k ² +1<0,
整理得7k ² <9,
解得- <k< .
∴存在满足条件的直线l,
其斜率k的取值范围为- <k< .