已知椭圆C的方程为x^2/4y^2=1,A,B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点（1）设P是椭圆C上任意一点,若O→P=mO→AnO→B,求证：动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程；（2)若M,N是椭圆C上

Question

已知椭圆C的方程为x^2/4 y^2=1,A,B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点（1）设P是椭圆C上任意一点,若O→P=mO→A nO→B,求证：动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程；（2)若M,N是椭圆C上的两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积.试探求的ΔOMN面积是否为定值,并说明理由

Answer 1

⑴联立椭圆与直线方程,得一关于x,m或y,m的一元二次方程
∵有交点,且为两个
∴令上面那个一元二次方程的判别式大于零（不能等于零,因为两根不同.）
容易得-5＜m＜5

⑵设A（x1,y1),B(x2,y2),直线AM的斜率为k2,与x轴所夹的钝角为θ1,直线BM的斜率为k1,与x轴所夹的锐角为θ2（这个一定要结合图来看啊!）
∵题目要证等腰三角形
∴即证tanθ1=tan（π-θ2）
即tanθ1=-tanθ2(注意负号）
即k1=-k2（负号）
∴k1+k2=0
∵k1=(y1-1)/(x1-4),k2=(y2-1)/(x2-4)……(这个你知道怎么来的吧）
∴(y1-1)/(x1-4)+(y2-1)/(x2-4)=0
又∵A,B两点均在直线l上
即把上式中的y1,y2全变成只有x1,x2,m的方程
接下来就通分,化简（这是不可避免的）
最后化简可得[2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)]÷[x1x2-4(x1+x2)+16]………①
(我们的目的是将上面的那个式子证得为0,即可）
∵直线l与椭圆交与A,B两点,
∴联立直线l方程与椭圆方程
可得一关于x与m得方程,为：5x²+8mx+4m²-20=0
再由韦达定理得x1+x2=-8m÷5(别漏负号）…………②
x1x2=(4m²-20)÷5…………③
用②③代入①中,可把式子化为只含m,结果一算,该式子含m部分可约去,最后为0
（证明成功）
∴直线AM,直线BM与x轴所构成的三角形为等腰三角形