描述:已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,A,B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点（1）设P是椭圆C上任意一点,若O→P=mO→A+nO→B,求证：动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程；（2)若M,N是

Question

描述:已知椭圆C的方程为x^2/4+y^2=1,A,B是四条直线x=±2,y=±1所围成的矩形的两个顶点 （1）设P是椭圆C上任意一点,若O→P=mO→A+nO→B,求证：动点Q(m,n)在定圆上运动,并求出定圆的方程； （2)若M,N是椭圆C上的两个动点,且直线OM,ON的斜率之积等于直线OA,OB的斜率之积.试探求的ΔOMN面积是否为定值,并说明理由

Answer 1

左上A,右上B
在X,Y轴上分别考虑,向量相等,模相等,向量m,n倍,模m,n倍
OA在坐标上的投影为1,2,放大或缩小m后为m,2m,同理OB在坐标上的投影放大缩小后为n,2n
因O→P=mO→A+nO→B,所以OP在坐标上的投影为2n-2m,n+m,即P的坐标为（2n-2m,n+m)
代入椭圆C的方程后可得m^2+n^2=1/2