已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且|OA|=|OF|，△AOF的面积为1（其中O为坐标原点）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连结CM，交椭圆于点P，证明：

OM

•

OP

为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由已知：

b＝c

(1)/(2)bc＝1

，
∴b＝c＝√(2)，a²=b²+c²=4，
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1；
（Ⅱ）证明：由（1）知，C（-2，0），D（2，0）．
由题意可设CM：y=k（x+2），P（x₁，y₁）．
∵MD⊥CD，
∴M（2，4k）．
由

(x2)/(4)+(y2)/(2)＝1

y＝k(x+2)

，消去y整理得：（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0，
∴△=（8k²）²-4（1+2k²）（8k²-4）＞0，
−2x1＝(8k2−4)/(1+2k2)，即x1＝(2−4k2)/(1+2k2)．
∴y1＝k(x1+2)＝(4k)/(1+2k2)，
∴点P（(2−4k2)/(1+2k2)，(4k)/(1+2k2)）．
∴

OM

•

OP

=2•(2−4k2)/(1+2k2)+4k•(4k)/(1+2k2)＝(4(1+2k2))/(1+2k2)＝4（定值）．
（Ⅲ）设Q（x₀，0），且x₀≠2．
若以MP为直径的圆恒过DP，MQ的交点，
则MQ⊥DP，
∴

QM

•

DP

＝0恒成立．
由（2）可知：

QM

＝(2−x0，4k)，

DP

＝((−8k2)/(1+2k2)，(4k)/(1+2k2))，
∴

QM

•

DP

＝(2−x0)•(−8k2)/(1+2k2)+4k•(4k)/(1+2k2)＝0，
即(8k2)/(1+2k2)x0＝0恒成立，
∴x₀=0．
∴存在Q（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点．