关于一个椭圆的题目!已知椭圆C以坐标轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的一个焦点为（1,0）点（根号3/2,根号6/2）在椭圆上,直线L过椭圆的右焦点与椭圆交于M,N两点（1）求椭圆C的方程

Question

关于一个椭圆的题目!
已知椭圆C以坐标轴为对称轴,以坐标原点为对称中心,椭圆的一个焦点为（1,0）点（根号3/2,根号6/2）在椭圆上,直线L过椭圆的右焦点与椭圆交于M,N两点
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN的垂直平分线过点（0,1/5）求出直线L的方程

Answer 1

设椭圆方程为x²/a² + y²/b² =1,椭圆上的点(√3/2,√6/2)满足椭圆方程：
0.75/a² + 1.5/b² =1 ①
半焦距c=1,所以a²-b²=1 ②
两式联立解得a²=3,b²=2
所以：（1）椭圆方程为x²/3 + y²/2 =1
第二问：
设直线L方程为y=k(x-1),代入椭圆方程消去y得：(3k²+2)x²-6k²x+3k²-6=0
由韦达定理得：x1+x2=6k²/(3k²+2),x1x2=(3k²-6)/(3k²+2)
y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2-2)=-4k/(3k²+2)
所以MN中点横坐标(x1+x2)/2=3k²/(3k²+2),纵坐标(y1+y2)/2=-2k/(3k²+2)
MN垂直平分线方程为y+2k/(3k²+2)=-(1/k)[x- 3k²/(3k²+2)]
代入点（0,1/5）坐标得：1/5 + 2k/(3k²+2)=3k/(3k²+2)]
解得k=2/3或k=1
所以直线L方程为y=2(x-1)/3或y=x-1