已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点(3，−32)，且椭圆的离心率e=12，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：1|AB|+1|CD|为定值

Question

已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）经过点(√(3)，−(√(3))/(2))，且椭圆的离心率e=(1)/(2)，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：(1)/(|AB|)+(1)/(|CD|)为定值；
（Ⅲ）求|AB|+(9)/(16)|CD|的最小值．

Answer 1

（I）由e＝(c)/(a)＝(1)/(2)，得(c2)/(a2)＝(1)/(4)，
∴a²=4c²=4（a²-b²），
∴3a²=4b²．（1），…（1分）
由椭圆过点(√(3)，−(√(3))/(2))知，(3)/(a2)+(3)/(4b2)＝1．（2）…（2分）
联立（1）、（2）式解得a²=4，b²=3．…（3分）
故椭圆的方程是(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．…（4分）
（II）(1)/(|AB|)+(1)/(|CD|)为定值(7)/(12)…（5分）
证明：椭圆的右焦点为F′（1，0），分两种情况．
1°当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，
则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，(1)/(|AB|)+(1)/(|CD|)＝(7)/(12)；…（6分）
2°当直线AB的斜率存在时，
设AB：y=k（x-1）（k≠0），则 CD：y＝−(1)/(k)(x−1)．
又设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立方程组

y＝k(x−1)

3x2+4y2＝12

，
消去y并化简得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2＝(8k2)/(4k2+3)，x1•x2＝(4k2−12)/(4k2+3)…（7分）
∴|AB|＝√((x1−x2)2+(y1−y2)2)＝√(1+k2)|x1−x2|
=√(1+k2)•√((x1+x2)2−4x1x2)
=√(1+k2)•√((64k4−16(k2−3)(4k2+3))/((4k2+3)2))
=(12(k2+1))/(4k2+3)，…（8分）
由题知，直线CD的斜率为-(1)/(k)，
同理可得|CD|＝(12(1+k2))/(4+3k2)…（9分）
所以(1)/(|AB|)+(1)/(|CD|)＝(7k2+7)/(12(k2+1))＝(7)/(12)为定值．…（10分）
（Ⅲ）由（II）知(1)/(|AB|)+(1)/(|CD|)＝(7)/(12)，
∴|AB|+(9)/(16)|CD|＝(12)/(7)(|AB|+(9)/(16)|CD|)((1)/(|AB|)+(1)/(|CD|))…（11分）
=(12)/(7)((25)/(16)+((9)/(16)|CD|)/(|AB|)+(|AB|)/(|CD|))
≥(12)/(7)((25)/(16)+2√(((9)/(16)|CD|)/(|AB|)×(|AB|)/(|CD|)))＝(21)/(4)，…（12分）
当且仅当((9)/(16)|CD|)/(|AB|)＝(|AB|)/(|CD|)，
即|AB|＝(3)/(4)|CD|，即|AB|=3，|CD|=4时取等号  …（13分）
∴|AB|+(9)/(16)|CD|的最小值为(21)/(4)．…（14分）