设函数y（x）由参数方程x＝t3+3t+1y＝t3−3t+1确定，求曲线y=y（x）向上凸的x取值范围．

Question

设函数y（x）由参数方程

x＝t3+3t+1

y＝t3−3t+1

确定，求曲线y=y（x）向上凸的x取值范围．

Answer 1

由题意，y′(x)＝((dy)/(dt))/((dx)/(dt))＝(3t2−3)/(3t2+3)＝(t2−1)/(t2+1)
∴y″(x)＝(dy′(x))/(dt)•(dt)/(dx)=(4t)/((t2+1)2)•(1)/(3t2+3)=(4)/(3)•(t)/((t2+1)3)
∴要使得曲线y=y（x）向上凸，则有y″（x）＜0
即(4)/(3)•(t)/((t2+1)3)＜0，即(t)/((t2+1)3)＜0
∴t＜0
又(dx)/(dt)＝3(t2+1)＞0
∴x对t是单调递增的
∴当t＜0时，x＜x（0）=1
就曲线y=y（x）向上凸的x范围是（-∞，1）