已知O为坐标原点,F为椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为负根号2的直线l与c交予AB两点,点P满足OA+OB+OP=0（向量和）（1）证明点P在C上（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明A,P,B,Q四点

Question

已知O为坐标原点,F为椭圆C：x2+y2/2=1在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为负根号2的直线l与c交予AB两点,点P满足OA+OB+OP=0（向量和）
（1）证明点P在C上
（2）设点P关于点O的对称点为Q,证明A,P,B,Q四点在同一圆上

Answer 1

(1)
求得F(0,1)
直线l y=-(√2) x+1
结合椭圆C：x²+y²/2=1
得到 4x²-(2√2) x-1=0
所以 xA+xB=(√2)/2 yA+yB=1
从而 P（-(√2)/2,-1）
显然满足椭圆方程,即在C上
（2）
Q 与P、O线
|PQ|²=4|OP|²=6
在（1）中可以看出,AB的中点M为（(√2)/4,1/2）,易看出在PQ上,且为OQ的中点.
即AB、PQ交与点M.
M将AB平分,将PQ分为3:1的两段.
从（1）中可以求出,|xA-xB|=(√6)/2
|AB|²=（1+2）|xA-xB|²=9/2
|MA|*|MB|=（1/2）*（1/2）*|AB|²=9/8
|MP|*|MQ|=（3/4）*（1/4）*|PQ|²=9/8
所以
|MA|*|MB| =| MP|*|MQ|
故
A,P,B,Q四点在同一圆上