已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴长2√2,直线l:x=a²/c与x轴相交于点A,且向量∕OF∕=向量2∕FA∕,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点,(1)求椭圆的方程；（2）若以PQ为直径的圆恰好

Question

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,
短轴长2√2,直线l:x=a²/c与x轴相交于点A,且向量∕OF∕=向量2∕FA∕,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点,(1)求椭圆的方程；（2）若以PQ为直径的圆恰好经过原点,求直线PQ的方程.

Answer 1

|OF|=c |FA|=a^2/c-c
c=2(a^2/c-c) 3c=2a^2/c 2a^2=3c^2 短轴长2b=2√2 b=√2
a^2=b^2+c^2 解得 a^2=6 c=2
(1)求椭圆的方程；x^2/6+y^2/2=1
2.a^2/c=3 A(3,0)
设直线PQ的斜率为k y=k(x-3) P(x1,y1) Q(x2,y2)
x^2/6+y^2/2=1 x^2+3y^2=6 代入
x^2+3k^2(x^2-6x+9)-6=0
(1+3k^2)x^2-18k^2x+(27k^2-6)=0
x1x2=(27k^2-6)/(1+3k^2) x1+x2=18k^2/(1+3k^2)
y1y2=k^2(x1x2-3(x1+x2)+9)
若以PQ为直径的圆恰好经过原点 x1x2+y1y2=0
(27k^2-6)/(1+3k^2) +k^2((27k^2-6)/(1+3k^2)-3(18k^2/(1+3k^2) )+9)=0
整理得 27k^2=3
k=1/3或k=-1/3
直线PQ的方程 y=1/3x-1或y=-1/3x+1