过点(—1,0)的直线与椭圆x^2/4+y^2=1相交于A,B两点,求三角形AOB的面积的最大值化简结果不知道怎么处理?

Question

过点(—1,0)的直线与椭圆 x^2/4+y^2=1 相交于A ,B两点,求三角形AOB的面积的最大值
化简结果不知道怎么处理?

Answer 1

设 C（-1,0）,直线 AB 方程为 x = my-1 ,
代入椭圆方程得 (my-1)^2/4+y^2=1 ,
化简得 (m^2+4)y^2-2my-3=0 ,
设 A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 y1+y2= 2m / (m^2+4) ,y1*y2= -3/(m^2+4) ,
SOAB=SOAC+SOBC
=1/2*|OC|*|y2-y1|
=1/2*√[(y1+y2)^2-4y1*y2]
=2√(m^2+3) / (m^2+4) ,
令 t=√(m^2+3)≥√3,则
SOAB=2t / (t^2+1)
=2 / (t+1/t) ,
由均值定理,t+1/t ≥ 2 ,当 t = 1 时取等号,
由于 t ≥√3 ,因此当 t = √3 时 t+1/t 有最小值,SOAB 有最大值,
即 m = 0 时,SOAB 有最大值 √3/2 .