设复数z1,z2满足:z1^2-z1z2+((1+a^2)/4)z2^2=0,(a>0),它们在复平面内分别对应不同的点A、点B,O为坐标原点,若|Z2|=根号(1-((a^2)/4)),求使得三角形AOB有最大面积时的a的值,并求出最大面积

Question

设复数z1,z2满足:z1^2-z1z2+((1+a^2)/4)z2^2=0,(a>0),它们在复
平面内分别对应不同的点A、点B,O为坐标原点,若|Z2|=根号(1-((a^2)/4)),求使得三角形AOB有最大面积时的a的值,并求出最大面积

Answer 1

首先z2不可能为0,否则带入那个方程会得到4z1^2=0,不可能因为|z1|=4.
然后等式两边同除z2^2,这样得到：
(2z1/z2)^2+(2z1/z2)+1=0
这个二次方程解的：
2z1/z2=cos2π/3±isin2π/3
之后得到2|z1|/|z2| =1
所以|z2|=8
然后上面也说明了他们之间的角度是2pi/3,这样面积就等于
1/2 |z1| |z2| sin(2pi/3) = 16 sin(2pi/3)=16 （根号3） /2