（本题满分12分）一个四棱椎的三视图如图所示：（I）求证：PA⊥BD；（II）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30o？若存在，求的值；若不存在，说明理由

Question

（本题满分12分）
一个四棱椎的三视图如图所示：（I）求证： PA ⊥ BD ；
（II）在线段 PD 上是否存在一点 Q ，使二面角 Q - AC - D 的平面角为30 ^o ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）由三视图可知 P - ABCD 为四棱锥，底面 ABCD 为正方形，且 PA ＝ PB ＝ PC ＝ PD ，
连接 AC 、 BD 交于点 O ，连接 PO  ． ……………………………………………3分
因为 BD ⊥ AC ， BD ⊥ PO ，所以 BD ⊥平面 PAC ，
即 BD ⊥ PA ．…………………………………………………………………………6分
（II）由三视图可知， BC ＝2， PA ＝2 ，假设存在这样的点 Q ，
因为 AC ⊥ OQ ， AC ⊥ OD ，
所以∠ DOQ 为二面角 Q - AC - D 的平面角， ……………………………………8分
在△ POD 中， PD ＝2 ， OD ＝ ，则∠ PDO ＝60 ^o ，
在△ DQO 中，∠ PDO ＝60 ^o ，且∠ QOD ＝30 ^o ．所以 DP ⊥ OQ ． ……………10分
所以 OD ＝ ， QD ＝ ．
所以 ． …………………………………………12分

略