如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC．（1）求证：OD∥平面PAB；（2）当k=12时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）当k为何值时，O在平面PBC内

Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥平面ABC．

（1）求证：OD∥平面PAB；
（2）当k=(1)/(2)时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（3）当k为何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点
∴OD∥AP
∵AP⊂平面PAB，OD⊄平面PAB
∴OD∥平面PAB．
（Ⅱ）∵AB⊥BC  OA=OC
∴OA=OB=OC
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC
取BC的中点E，连结PE，
则：BC⊥平面POE
作OF⊥PE于F，连结DF，
则：OF⊥平面PBC
∴∠ODF是DO与平面PBC所成的角．
由OD∥PA
∴∠ODF是PA与平面PBC所成的角
在Rt△ODF中，sin∠ODF=(OF)/(OD)=(√(210))/(30)
PA与平面PBC所成的角为：arcsin(√(210))/(30)；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：OF⊥平面PBC
∴F是O在平面PBC内的射影．
∵D是PC的中点，
若点F是△PBC的重心，
则：B、F、D三点共线．
所以，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD．
∵OB⊥PC
PC⊥BD
∴PB=BC
即：k=1
反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥．
O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心