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如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥平面ABC.(1)求证:OD∥平面PAB;(2)当k=12时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;(3)当k为何值时,O在平面PBC内
题目详情
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点,OP⊥平面ABC.

(1)求证:OD∥平面PAB;
(2)当k=
时,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值;
(3)当k为何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心.

(1)求证:OD∥平面PAB;
(2)当k=
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(3)当k为何值时,O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)证明:在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点O、D分别是AC、PC的中点
∴OD∥AP
∵AP⊂平面PAB,OD⊄平面PAB
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC OA=OC
∴OA=OB=OC
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC
取BC的中点E,连结PE,
则:BC⊥平面POE
作OF⊥PE于F,连结DF,
则:OF⊥平面PBC
∴∠ODF是DO与平面PBC所成的角.
由OD∥PA
∴∠ODF是PA与平面PBC所成的角
在Rt△ODF中,sin∠ODF=
=
PA与平面PBC所成的角为:arcsin
;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:OF⊥平面PBC
∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点,
若点F是△PBC的重心,
则:B、F、D三点共线.
所以,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC
PC⊥BD
∴PB=BC
即:k=1
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.
O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心

∴OD∥AP
∵AP⊂平面PAB,OD⊄平面PAB
∴OD∥平面PAB.
(Ⅱ)∵AB⊥BC OA=OC
∴OA=OB=OC
又∵OP⊥平面ABC
∴PA=PB=PC
取BC的中点E,连结PE,
则:BC⊥平面POE
作OF⊥PE于F,连结DF,
则:OF⊥平面PBC
∴∠ODF是DO与平面PBC所成的角.
由OD∥PA
∴∠ODF是PA与平面PBC所成的角
在Rt△ODF中,sin∠ODF=
OF |
OD |
| ||
30 |
PA与平面PBC所成的角为:arcsin
| ||
30 |
(Ⅲ)由(Ⅱ)知:OF⊥平面PBC
∴F是O在平面PBC内的射影.
∵D是PC的中点,
若点F是△PBC的重心,
则:B、F、D三点共线.
所以,直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
∵OB⊥PC
PC⊥BD
∴PB=BC
即:k=1
反之,当k=1时,三棱锥O-PBC为正三棱锥.
O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心
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