Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示,∠C=90°,AB=6,AC=3．点A在x轴上由原点O开始向右滑动,同时点B在y轴上也随之向点O滑动,如图2所示；当点B滑动至与点O重合时,运动结束．在上述运

Question

Rt△ABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示,∠C=90°,AB=6,AC=3．点A在x轴上由原点O开始向右滑动,同时点B在y轴上也随之向点O滑动,如图2所示；当点B滑动至与点O重合时,运动结束．在上述运动过程中,⊙G始终是一个以AB为直径的圆.
（1）试判断在运动过程中,原点O与⊙G的位置关系,并说明理由；
（2）设点C坐标为(x,y),试求出y与x的关系式,并写出自变量x的取值范围；
（3）根据对问题（1）、（2）的探究,请你求出整个过程中点C运动的路径的长．

Answer 1

(1) 点O在⊙G上；--------------------------联结OG,∵∠AOB是直角,G为AB中点,∴GO= AB,
∵点G 为圆心,∴GO为半径,故原点O始终在⊙G上.
(2) ∵∠ACB=90°,AB=6,AC=3,∴∠ABC=30°.
联结OC,过点C作CD⊥x轴于点D,如图4,
∴∠AOC=∠ABC =30°,
在Rt△ODC中,tan∠COD=CD/OD ,即tan30°= y/x,
∴y与x的关系式是：y=(根3/3)x
.自变量x的取值范围是3根3/2 《x《3根3 .