求方程3^x+4^y=5^z的所有正整数解x、y、z、(回答后再追分)

Question

求方程3^x+4^y=5^z的所有正整数解x、y、z、(回答后再追分)

Answer 1

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考虑mod3知z是偶数,设z=2u.则原方程化为 5^(2u)-2^(2y)=3^x,(5^u+2^y)(5^u-2^y)=3^x
由此可得 5^u+2^y=3^x (1) 以及 5^u-2^y=1 (2) 由5=6-1,2=3-1 可知
(-1)^u+(-1)^y=0 (mod3)
(-1)^u-(-1)^y=1 (mod3)
于是u为奇数,y为偶数,令y=2v.此时由(1)式可得：(4+1)^u+4^v=(4-1)^x,因此 1=(-1)^x (mod4),所以x也是偶数.如果y>2,则由(1)得 5=1 (mod8) 矛盾.所以只能有 y=2.
再由(2)得 5^u=1+2^2=5,于是 u=1,z=2u=2.最后可以求出 3^x=5^2-4^2=9,x=2.
因此原方程有且只有一组(x,y,z)=(2,2,2).