1求不定方程（x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(-x+y+z)=2006的整数解21,2,3,--,98共98个自然数,能够表示成两整数平方差的数的个数是哪些数?

Question

1 求不定方程（x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)(-x+y+z)=2006的整数解
2 1,2,3,--,98共98个自然数,能够表示成两整数平方差的数的个数是哪些数?

Answer 1

设A=x+y+z
B=x+y-z
C=x+z-y
D=y+z-x
则A*B*C*D=2006
又因为A+B+C+D=2*(x+y+z)是偶数
所以A、B、C、D中有偶数个奇数
若这四个数中没有奇数 即全是偶数 则A*B*C*D是8的倍数 而2006显然不是8的倍数 所以不成立
若这四个数中有只有2个是奇数 则A*B*C*D是4的倍数 而2006显然不是4的倍数 也不成立
若这四个数全是奇数 则A*B*C*D也是奇数 而2006显然是偶数 也不成立