设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是a1=(-1,-1,1)',a2=(1,-2,-1)'.(1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A.

Question

设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3,矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是a1=(-1,-1,1)',a2=(1,-2,-1)'.
(1)求A的属于特征值3的特征向量；
(2)求矩阵A.

Answer 1

(1)设a3=(x1,x2,x3)'是矩阵A的属于特征值3的特征向量
则 a3 与 a1,a2 正交.即满足
-x1-x2+x3 = 0
x1-2x2-x3 = 0
求得这个齐次线性方程组的基础解系 a3=(1,0,1)'
所以,A的属于特征值3的全部特征向量为 ka3,k为任意非零常数.
(2) 令 P=(a1,a2,a3),则 P^-1AP = diag(1,2,3)
所以 A = Pdiag(1,2,3)P^-1
计算得 A =
13/6 -1/3 5/6
-1/3 5/3 1/3
5/6 1/3 13/6