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设A为三阶矩阵，已知Ax=0有非零解，且A满足行列式|A+E|=|2A+E|=0，则行列式|E+3A|=．
题目详情
设A为三阶矩阵，已知Ax=0有非零解，且A满足行列式|A+E|=|2A+E|=0，则行列式|E+3A|=______．
▼优质解答
答案和解析
因为Ax=0有非零解，
所以|A|=0，
从而0是A的一个特征值．
因为|A+E|=|2A+E|=0，
所以-1与-2为A的两个特征值．
利用矩阵特征的性质可得，E+3A的特征值为：
1+3×0=1，
1+3×（-1）=-2，
1+3×（-2）=-5，
从而|E+3A|=1×（-2）×（-5）=10．
故答案为：10．
所以|A|=0，
从而0是A的一个特征值．
因为|A+E|=|2A+E|=0，
所以-1与-2为A的两个特征值．
利用矩阵特征的性质可得，E+3A的特征值为：
1+3×0=1，
1+3×（-1）=-2，
1+3×（-2）=-5，
从而|E+3A|=1×（-2）×（-5）=10．
故答案为：10．
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