设A为三阶矩阵，已知Ax=0有非零解，且A满足行列式|A+E|=|2A+E|=0，则行列式|E+3A|=．

Question

设A为三阶矩阵，已知Ax=0有非零解，且A满足行列式|A+E|=|2A+E|=0，则行列式|E+3A|=______．

Answer 1

因为Ax=0有非零解，
所以|A|=0，
从而0是A的一个特征值．
因为|A+E|=|2A+E|=0，
所以-1与-2为A的两个特征值．
利用矩阵特征的性质可得，E+3A的特征值为：
1+3×0=1，
1+3×（-1）=-2，
1+3×（-2）=-5，
从而|E+3A|=1×（-2）×（-5）=10．
故答案为：10．