设曲线弧L为x^2+y^2=ax(a＞0)从点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆弧,求∫(e^xsiny-ay+a)dx+(e^xcosy-a)dy∫下面有个L,e^xsiny是e^x乘以siny

Question

设曲线弧L为x^2+y^2=ax(a＞0)从点A(a,0)到点O(0,0)的上半圆弧,求∫(e^xsiny-ay+a)dx+(e^xcosy-a)dy
∫下面有个L,e^xsiny是e^x乘以siny

Answer 1

补L1：y=0,x：0→a
则L+L1为封闭曲线
∮(L+L1) (e^xsiny-ay+a)dx+(e^xcosy-a)dy
用格林公式
=∫∫ (e^xcosy-e^xcosy+a) dxdy 积分区域D为半圆
=a∫∫ 1 dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积,面积为：(1/2)π(a/2)²=πa²/8
=πa³/8
然后计算补的那条线上的积分：
∫L1 (e^xsiny-ay+a)dx+(e^xcosy-a)dy
=∫[0→a] a dx
=a²
本题结果为：πa³/8-a²
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.