已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：（t为参数），（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别

Question

已知曲线C ₁ ： （θ为参数），曲线C ₂ ： （t为参数），
（Ⅰ）指出C ₁ ，C ₂ 各是什么曲线，并说明C ₁ 与C ₂ 公共点的个数；
（Ⅱ）若把C ₁ ，C ₂ 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C ₁ ′，C ₂ ′，写出C ₁ ′，C ₂ ′的参数方程，C ₁ ′与C ₂ ′公共点的个数和C ₁ 与C ₂ 公共点的个数是否相同？说明你的理由。

Answer 1

（Ⅰ）C ₁ 是圆，C ₂ 是直线，
C ₁ 的普通方程为 ，半径r=1；
C ₂ 的普通方程为 ，
因为圆心C ₁ 到直线 的距离为1，
所以C ₂ 与C ₁ 只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为 （θ为参数），
（t为参数），
化为普通方程为： ，
联立消元得 ，
其判别式 ，
所以压缩后的直线C ₂ ′与椭圆C ₁ ′仍然只有一个公共点，和C ₁ 与C ₂ 公共点个数相同。