已知命题p：函数y=（a-1）x在R上单调递增；命题q：不等式x+|x-3a|＞1的解集为R，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Question

已知命题p：函数y=（a-1）^x在R上单调递增；命题q：不等式x+|x-3a|＞1的解集为R，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

若p真，则a-1＞1⇒a＞2
q真⇔x+|x-3a|＞1恒成立，
设h（x）=x+|x-3a|，
则h（x）_min＞1，
∵h(x)＝

2x−3a

3a

x≥3a

x＜3a

，
易知h（x）_min=3a3a＞1，即a＞(1)/(3)，
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴命题P和命题q必为一真一假，
下面分命题P真q假和命题P假q真，两种情形进行讨论：
（1）若p真q假，则a＞2且a≤(1)/(3)，矛盾  
（2）若p假q真，则a≤2且a＞(1)/(3)⇒(1)/(3)＜a≤2，
综上可知，a的取值范围是((1)/(3)，2]