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如图1,2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.(1)如
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如图1,2,四边形ABCD是正方形,M是AB延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F.
(1)如图1,当点E在AB边的中点,N为AD边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是______;
②请证明你的上述猜想.
(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的结论.
(1)如图1,当点E在AB边的中点,N为AD边的中点位置时:
①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是______;
②请证明你的上述猜想.
(2)如图2,当点E在AB边上的任意位置时,猜想此时DE与EF有怎样的数量关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)①DE=EF;
②证明:∵四边形ABCD是正方形,N,E分别为AD,AB的中点,
∴DN=EB=AN=AE,
∴△AEN为等腰直角三角形,
∴∠ANE=45°,
∴∠DNE=180°-45°=135°,
∵BF平分∠CBM,AN=AE,
∴∠EBF=90°+45°=135°,
∴∠DNE=∠EBF,
∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,
∴∠NDE=∠BEF,
∴△DNE≌△EBF,
∴DE=EF;
(2)DE=EF,
证明:连接NE,在DA边上截取DN=EB,
∵四边形ABCD是正方形,DN=EB,
∴AN=AE,
∴△AEN为等腰直角三角形,
∴∠ANE=45°,
∴∠DNE=180°-45°=135°,
∵BF平分∠CBM,AN=AE,
∴∠EBF=90°+45°=135°,
∴∠DNE=∠EBF,
∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,
∴∠NDE=∠BEF,
∴△DNE≌△EBF,
∴DE=EF.
②证明:∵四边形ABCD是正方形,N,E分别为AD,AB的中点,
∴DN=EB=AN=AE,
∴△AEN为等腰直角三角形,
∴∠ANE=45°,
∴∠DNE=180°-45°=135°,
∵BF平分∠CBM,AN=AE,
∴∠EBF=90°+45°=135°,
∴∠DNE=∠EBF,
∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,
∴∠NDE=∠BEF,
∴△DNE≌△EBF,
∴DE=EF;
(2)DE=EF,
证明:连接NE,在DA边上截取DN=EB,
∵四边形ABCD是正方形,DN=EB,
∴AN=AE,
∴△AEN为等腰直角三角形,
∴∠ANE=45°,
∴∠DNE=180°-45°=135°,
∵BF平分∠CBM,AN=AE,
∴∠EBF=90°+45°=135°,
∴∠DNE=∠EBF,
∵∠NDE+∠DEA=90°,∠BEF+∠DEA=90°,
∴∠NDE=∠BEF,
∴△DNE≌△EBF,
∴DE=EF.
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