已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；（2）当

Question

已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b．

（1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值；
（2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=∠ACD=45°，
∴∠ACF=∠ACE，
∵∠EAF被对角线AC平分，
∴∠CAF=∠CAE，
在△ACF和△ACE中，

∠ACF=∠ACE

AC=AC

∠CAF=∠CAE

，
∴△ACF≌△ACE，
∴CE=CE，
∵CE=a，CF=b，
∴a=b，
∵△ACF≌△ACE，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，
∵∠CAF=∠CAE=22.5°，
∴∠CAE=∠CEA，
∴CE=AC=4√(2)，
即：a=b=4√(2)；
（2）当△AEF是直角三角形时，
①当∠AFE=90°时，∴∠AFD+∠CFE=90°，
∵∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°，
∴∠AEF=45°=∠EAF
∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中

∠ADF=∠FCE

∠AFD=∠CEF

AF=EF

∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8，
∴a=8，b=4
②当∠AEF=90°时，
同①的方法得，CF=4，CE=8，
∴a=4，b=8．
（3）ab=32，
理由：如图，

∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC，
∵∠BAC=45°，
∴∠BAG+∠CAF=45°，
∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°-（∠CFE+∠CEF）-∠EAF=180°-90°-45°=45°，
∴∠CAF=∠AEC，
∵∠ACF=∠ACE=135°，
∴△ACF∽△ECA，
∴(AC)/(EC)=(CF)/(AC)，
∴EC×CF=AC²=2AB²=32
∴ab=32．