设A为三阶矩阵,三维列向量a1,a2,a3线性无关,且满足Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3,求可逆矩阵P使P^(-1）AP化为对角形.

Question

设A为三阶矩阵,三维列向量a1,a2,a3线性无关,
且满足Aa1=a1+a2+a3,Aa2=2a2+a3,Aa3=2a2+3a3,求可逆矩阵P使P^(-1）AP化为对角形.

Answer 1

由观察,可得：A（a2+a3)= 4(a2+a3)A(2a2-a3)=2a2-a3A(a1-a2)=a1-a2 设 b1=a1-a2, b2=2a2-a3, b3=a2+a3b2+b3=3a2 ==> a2 可以由{bi,i=1,2,3}表示 ==》 a1=b1+a2 可以由{bi,i=1,2,3}表示,a3=b2+2a2 可以由{bi,i=1,2,3}...