若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x0，y0）处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是（写出所有正确

Question

若直线l与曲线C满足下列两个条件：（i）直线l在点P（x₀，y₀）处与曲线C相切；（ii）曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．
下列命题正确的是______ （写出所有正确命题的编号）
①直线l：y=0在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=x³
②直线l：x=-1在点P（-1，0）处“切过”曲线C：y=（x+1）²
③直线l：y=x在点P（0，0）处“切过”曲线C：y=sinx
④直线l：y=x-1在点P（1，0）处“切过”曲线C：y=lnx，
⑤若直线l在点P（x₀，f（x₀））处“切过”曲线C：f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），则x₀=-(b)/(3a)．

Answer 1

对于①，由y=x³，得y′=3x²，则y′|_x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，
又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，故命题①正确；
对于②，由y=（x+1）²，得y′=2（x+1），则y′|_x=-1=0，
而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，故命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|_x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又x∈（-(π)/(2)，0）时x＜sinx，x∈（0，(π)/(2)）时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，
故命题③正确；
对于④，由y=lnx，得y′=(1)/(x)，则y′|_x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-(1)/(x)，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，
g′（x）＞0．则g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，故命题④错误；
对于⑤，f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），得f′（x）=3ax²+2bx+c，
则切线的斜率为f′（x₀）=3ax₀²+2bx₀+c存在，又曲线C在P附近位于直线l的两侧，则曲线C关于点P对称，
设对称点为（m，n），则f（m+x）+f（m-x）=2n，化简得（3ma+b）x²+am³+bm²+cm+d-n=0，上式对x∈R恒成立，
则3ma+b=0，即m=-(b)/(3a)，则有x₀=-(b)/(3a)，故命题⑤正确．
故答案为：①③⑤