矩阵(E+A)^n等于什么?看到一个二阶的矩阵n次方=E^n+n(E)^(n-1)A,三阶的n次方=E^n+n(E)^(n-1)A+(((n-1)n)/2)(E)^(n-2)B^2,为什么是不同的?到底应该怎样算呢?

Question

矩阵(E+A)^n等于什么?
看到一个二阶的矩阵n次方=E^n+n(E)^(n-1)A,三阶的n次方=E^n+n(E)^(n-1)A+(((n-1)n)/2)(E)^(n-2)B^2,为什么是不同的?到底应该怎样算呢?

Answer 1

这是一类特殊矩阵 B = E+A 的n次幂的计算方法
一般情况下, A 的某个低次幂等于0 才容易计算
而 (E+A)^n 就是 中学代数运算中的 二项式展开公式
(E+A)^n = E + nA + (n(n-1)/2) A^2 + C(n,3) A^3 + . (一直加到幂次等于0的前一个)