将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？

Question

将长为a的一段铁丝截成两段，用一段围成正方形，另一段围成圆，为使正方形与圆的面积之和最小，问两段铁丝的长各为多少？

Answer 1

设围成的正方形的边长为x(0＜x＜(a)/(4))，则围成的圆的半径为(a−4x)/(2π)，再设围成的总面积为f（x），得
f(x)＝x2+π((a−4x)/(2π))2
∴f′(x)＝2x−(2(a−4x))/(π)=(2a)/(π)+((8)/(π)−2)x
令f′（x）=0，得：
x＝(a)/(4−π)
又f″(x)＝(8)/(π)−2＞0
∴x＝(a)/(4−π)是f（x）的极小值点，且是f（x）的唯一极小值点
∴x＝(a)/(4−π)是f（x）的最小值点，且此时围成正方形的铁丝长为(4a)/(4−π)，围成圆的铁丝长为a−(4a)/(4−π)