设生产某种产品必须投入两种要素,x1和x2分别为两要素的投入量,Q为产出量;若生产函数为Q=2x1^ax2^b,其中a,b为正常数,且a+b=1,假定两种要素的价格分别为p1和p2,试问：当产出量为12时,两要素各投

Question

设生产某种产品必须投入两种要素,x1和x2分别为两要素的投入量,Q为产出量;若生产函数为Q=2x1^ax2^b,其中a,b为正常数,且a+b=1,假定两种要素的价格分别为p1和p2,试问：当产出量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小

Answer 1

解:Q=2x1^a*x2^b=12,即x1^a*x2^b-6=0.
设L=p1x1+p2x2-c(x1^a*x2^b-6)
令L`x1=p1-acx1^(a-1)*x2^b=p1-ac(x2/x1)^(1-a)=0
L`x2=p2-bcx1^a*x2^(b-1)=p2-bc(x2/x1)^(1-b)=0
c=p1/[a(x2/x1)^(1-a)]=p2/[b(x2/x1)^(1-b)]
解得x1=6[(p2/p1)*a/(1-a)]^(1-a),x2=6[(p1/p2)*(1-a)/a]^a
把1-a=b代入上式即得x1=6(ap2/bp1)^b,x2=6(bp1/ap2)^a