已知k∈R，设f（θ）=cos2θ+（k-4）sinθ+2k-9，其中θ∈[0，2π）．（1）当k=3时，求f（θ）的最值，并求相应的θ；（2）若对任意θ∈[0，2π），f（θ）≤0恒成立，求k的取值范围；（3）若存在唯

Question

已知k∈R，设f（θ）=cos²θ+（k-4）sinθ+2k-9，其中θ∈[0，2π）．
（1）当k=3时，求f（θ）的最值，并求相应的θ；
（2）若对任意θ∈[0，2π），f（θ）≤0恒成立，求k的取值范围；
（3）若存在唯一的θ∈[0，2π），使f（θ）≤0，求θ、k的取值．

Answer 1

（1）∵f（θ）=cos²θ+（k-4）sinθ+2k-9，
当k=3时，f（θ）=cos²θ-sinθ-3=-（sinθ+(1)/(2)）²-(7)/(4)，
当sinθ=-(1)/(2) 即θ=(7π)/(6)或(11π)/(6)时，f(θ)max=-(7)/(4)，
当sinθ=1时 即θ=(π)/(2)时，f（θ）_min=-4；
（2）∵f（θ）=cos²θ+（k-4）sinθ+2k-9=-sin²θ+（k-4）sinθ+2k-8
=-(sinθ-(k-4)/(2))2+((k-4)2)/(4)+2k-8=-(sinθ-(k-4)/(2))2+(k2-16)/(4)，
若对任意θ∈[0，2π），f（θ）≤0恒成立，只需满足(k2-16)/(4)≤0即可，
即：-4≤k≤4；
（3）由（2）得：f（θ）=-(sinθ-(k-4)/(2))2+(k2-16)/(4)，
存在唯一的θ∈[0，2π），使f（θ）≤0，
则：sinθ=(k-4)/(2) 由于-1≤sinθ≤1，
-1≤(k-4)/(2)≤1，
解得：2≤k≤6；
联立：-4≤k≤4，
∴2≤k≤4，
此时θ=arcsin(k-4)/(2)，
故答案为：（1）θ=(7π)/(6)或(11π)/(6)时，f(θ)max=-(7)/(4)，θ=(π)/(2)时，f（θ）_min=-4；
（2）-4≤k≤4；
（3）2≤k≤4，θ=arcsin(k-4)/(2)．