证明：u=f（x，y，z）在点M0（x0，y0，z0）沿过该点等值面f（x，y，z）=f（x0，y0，z0）法线两个方向的方向导数分别为它在该点处方向导数的最大值与最小值．其中f（x，y，z）具有连续的偏导

Question

证明：u=f（x，y，z）在点M₀（x₀，y₀，z₀）沿过该点等值面f（x，y，z）=f（x₀，y₀，z₀）法线两个方向的方向导数分别为它在该点处方向导数的最大值与最小值．其中f（x，y，z）具有连续的偏导数．

Answer 1

证明：设f（x，y，z）=f（x₀，y₀，z₀）在点M₀处的法向量为

n

，则

.

n

＝(fx，fy，fz)|(x0，y0，z0)
沿任意方向

.

l0

＝(cosα，cosβ，cosγ)，函数f（x，y，z）的方向导数为
(∂u)/(∂l)＝fx(x0，y0，z0)cosα+fy(x0，y0，z0)cosβ+fz(x0，y0，z0)cosγ=

.

g

⋅

.

l0

＝|

.

g

|cosφ
其中

.

g

＝(fx(x0，y0，z0)，fy(x0，y0，z0)，fz(x0，y0，z0))，φ为

.

l0

与

.

g

的夹角，
因而当cosφ=1，即φ=0时，(∂u)/(∂l)＝|

.

g

|取最大值；
当cosφ=-1，即φ=π时，(∂u)/(∂l)＝−|

.

g

|取最小值．
故沿

.

n

的两个方向，f（x，y，z）的