（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A

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（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A、B两点不重合时，求

的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

▼优质解答

答案和解析

（1）证明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠2+∠E=180°-90°=90°，
∴∠1=∠E，
∵在△ABD和△CEB中，

∠1＝∠E

∠A＝∠C＝90°

AD＝BC

，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB=CE，
∴AC=AB+BC=AD+CE；

（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，
则△BFQ∽△BCE，

∴

，
即

，
∴QF=

BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠APD+∠FPQ=180°-90°=90°，
∵∠APD+∠ADP=180°-90°=90°，
∴∠ADP=∠FPQ，
又∵∠A=∠PFQ=90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴

，
即

5−AP+BF

，
∴5AP-AP²+AP•BF=3•

BF，
整理得，（AP-BF）（AP-5）=0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP=BF，
由△ADP∽△FPQ得，

，
∴

；

（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．

由（2）（i）可知，QF=

AP．
当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=

．
∴BF=QF×

=4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ=