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过点P(2,4)作直线l分别交两坐标轴正向于A、B,其中O为原点,求:|PA|*|PB|的最小值
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过点P(2,4)作直线l分别交两坐标轴正向于A、B,其中O为原点,求:|PA|*|PB|的最小值
▼优质解答
答案和解析
根据已知,知此直线斜率存在,设为k,则
直线AB:y-4=k(x-2),k＜0
令x=0,则y=4-2k,即B(0,4-2k)
令y=0,则x=2-4/k,即A(2-4/k,0)
|PA|²=16/k²+16
|PB|²=4+4k²
(|PA|*|PB|)²
=64/k²+64k²+128
≥2√[(64/k²)(64k²)]+128
=256
当且仅当64/k²=64k²,即k²=1,k=-1时取得最小值
即k=-1时,
|PA|*|PB|取得最小值,为16
直线AB:y-4=k(x-2),k＜0
令x=0,则y=4-2k,即B(0,4-2k)
令y=0,则x=2-4/k,即A(2-4/k,0)
|PA|²=16/k²+16
|PB|²=4+4k²
(|PA|*|PB|)²
=64/k²+64k²+128
≥2√[(64/k²)(64k²)]+128
=256
当且仅当64/k²=64k²,即k²=1,k=-1时取得最小值
即k=-1时,
|PA|*|PB|取得最小值,为16
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