如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．(1)已知：PA=，求证：AM⊥平面PBD；(2)若二面角M-AB-D的余弦值等于，求PA的长．

Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，PA⊥平面ABCD，AC、BD交于点O．
(1)已知：PA=，求证：AM⊥平面PBD；
(2)若二面角M-AB-D的余弦值等于，求PA的长．

____

Answer 1

【分析】(1)由已知中四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，点M是棱PC的中点，得到AM、PO交点G是ΔPAC的重心，根据三角形重心的性质，我们易得AG、OG的长，由勾股定理，我们易得AG⊥PO，由线面垂直的判定定理易得到BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质得到BD⊥AM，结合AG⊥BD，即可得到AM⊥平面PBD；
\n(2)由MO∥PA，结合已知中PA⊥平面ABCD，过O作AB的垂线，垂足为N，连接MN，易得到∴∠MNO即为二面角M-AB-D的平面角，由已知中二面角M-AB-D的余弦值等于，我们可构造一个关于OM的方程，解方程求出OM值，即可求出满足条件时PA的长．

(1)底面ABCD是边长为2的菱形，AC、BD交于点O．故O为AC的中点，
\n又∵点M是棱PC的中点，
\n∴AM、PO交点G是ΔPAC的重心，
\n∴AG=AM==，OG=PO=，AG²+OG²=1=AO²
\n∴AG⊥PO
\n又BD⊥AO，BD⊥PA，PA∩AO=A

\n∴BD⊥平面PAC，
\n又由AM⊂平面PAC，
\n∴BD⊥AM，
\n又由AG⊥BD，AM∩AG=A
\n∴AM⊥平面PBD；
\n(2)由MO∥PA
\n∴MO⊥平面ABCD，
\n过O作AB的垂线，垂足为N，则ON=BO=
\n连接MN，则MN⊥AB，
\n∴∠MNO即为二面角M-AB-D的平面角
\n则=，解得OM=1
\nPA=2OM=2.

【点评】本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，线面、线线、面面垂直的相互转化是立体几何证明的重点，而求二面角有关的立体几何综合题，找出二面角的平面角是解答的关键．