若P为三角形ABC所在平面上一点,且角ABC等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC等于60度,PA等于3,PC等于4,则PB的为多少（2）在锐角

Question

若P为三角形ABC所在平面上一点,且角ABC等于角BPC等于角CPA等于120度,则点P叫做三角形ABC的费马点.
（1）若点P为锐角三角形ABC的费马点,且角ABC等于60度,PA等于3,PC等于4,则PB的为多少
（2）在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB',连结BB'.求证：BB'过三角形ABC的费马点P,且BB'=PA+PB+PC

Answer 1

(1) 设PB=x,AB=c,BC=a,CA=b,已知∠B=60°
在△PAB,△PBC,△PCA,△ABC分别由余弦定理有：
c^2=9+x^2-6x*Cos120° ①
a^2=16+x^2-8x*Cos120°②
b^2=9+16-24*Cos120° ③
b^2=a^2+c^2-2ac*CosB ④
化简并将①②③代入④得到
ac=2x^2+7x-12
b=根号37
又S△PAB+S△PBC+S△PCA=S△ABC
由三角形面积公式 S△ABC=(ab/2)·sinC=(bc/2)·sinA=(ac/2)·sinB可得
（12+7x）*Sin120°/2=ac*SinB/2
即 12+7x=2x^2+7x-12
解得x=2根号3
（2）.∵ ∠APC+∠AB'C=120°+60°=180°
∴四边形PAB'是圆的内接四边形
∴∠B’PC=∠B'AC=60°
∠BPA+∠APB'=180°
∴BB'经过点P
设∠PCB'=θ,由（1）可知,正△AB'C边长为 根号37
在△PCB'和△PAB'内,由余弦定理有
PB'^2=9+37-6根号37*Cos（180°-θ）=16+37-8根号37*Cosθ
解得Cosθ=1/（2根号37） ,代入上式,
解得PB'^2=16+37-4=49
PB'=7=3+4=PA+PC
∴ BB'=PA+PB+PC