AC1是正方体的体对角线,P为底面ABCD内一动点,三角形APC1面积为1/2,则动点P轨迹为?AC1是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积等于1/2，求动点

Question

AC1是正方体的体对角线,P为底面ABCD内一动点,三角形APC1面积为1/2,则动点P轨迹为?
AC1是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的体对角线，P为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APC1的面积等于1/2，求动点P的轨迹方程。

Answer 1

以A为原点,AB为x轴正方向,AD为y轴正方向,AA1为z轴正方向建立空间直角坐标系
则点C1坐标为(1,1,1),AC1所在直线方程为x-1=y-1=z-1,向量AC1=(1,1,1)
设P的坐标为(x,y,0).易得|AC1|=√3,令P到直线AC1的距离为h,有√3h/2=1/2,得h=√3/3
设P到AC1的垂足为E,坐标为(a,a,a),有h=√[(x-a)^2+(y-a)^2+a^2]=√3/3
在PE⊥AC1,有向量PE·向量AC1=(a-x,a-y,a)·(1,1,1)=(a-x)+(a-y)+a=0,解得a=(x+y)/3
带入√[(x-a)^2+(y-a)^2+a^2]=√3/3消去a化简即得P点的轨迹方程x^2+y^2-xy=1/2 (x≥0且y≥0)
因为包含xy项,图像是一个长轴在y=x上的椭圆圆弧在第一象限内的一段