如图20所示,在三角形ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,线段AC上一动点P（P与A、C不重合）,过点P作PQ//AB交BC于点Q.（1）当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积的1/3时,求CP的长.（2）当三角形PQC的周长与四边形PABQ

Question

如图20所示,在三角形ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,线段AC上一动点P（P与A、C不重合）,过点P作PQ//AB交BC于点Q.
（1）当三角形PQC的面积与四边形PABQ的面积的1/3时,求CP的长.
（2）当三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时,求CP的长.
（3）在AB上是否存在点M,使得三角形PQM为等腰直角三角形?若不存在,请说明理由；若存在,请求PQ的长.

Answer 1

提示如下,详细过程自己补充
（1)S(PQC):S(PABQ)=1:3,则S(PQC):S(ABC)=1:(1+3)=1:4
因PQ平行AB,S(PQC):S(ABC)=CP^：AC^ （^表示平方)
则CP:AC=1:2,PC=AC/2=4/2=2
(2)设CP=x
AP=4-x,CQ=3x/4,BQ=3-3x/4
三角形PQC的周长与四边形PABQ的周长相等,则
PQ+x+3x/4=PQ+(4-x)+(3-3x/4)+5
得x=24/7
(3)设存在点M,PQ=x,取PQ中点G,连接GM,则GM垂直PQ且GM=DG=PG=PQ/2=x/2
CQ=3x/5,BQ=3-3x/5
过D作DE垂直PQ交AB于E
因PQ平行AB,MG垂直PQ,DE垂直PQ,MG=DG,则DGME为正方形
DE垂直BM,DE=GM=x/2
又DE=4/5*BQ=4/5(3-3x/5)
则4/5(3-3x/5)=x/2
解得x=120/49
所以存在点M使得三角形PQM为等腰直角三角形,PQ=120/49