设p是素数,怎么证明x^p+px+p与x^2+p的最大公因式是1?

Question

设p是素数,怎么证明x^p+px+p与 x^2+p的最大公因式是1?

Answer 1

x^2+p的两个根是±√p,将这两个值带入第一个多项式x^p+px+p,发现都不为0.
这说明x-√p和x+√p都不是x^p+px+p的因式,所以x^p+px+p不含有x^2+p的任何因式作为它的因式.
这就说明这两个多项式互素,即它们的最大公因式是1.
另外,如果你知道Eisenstein判别法的话,那么容易判别出这两个多项式都是不可约多项式（整系数多项式环上的）,这足以说明这两个多项式是互素的.这是第二种解法.
不懂可以再问~