已知地球半径为R，引力常量为G，地球同步通信卫星周期为T，它离地面的高度约为地球半径的6倍．（1）求地球的质量；（2）若地球的质量是某行星质量的16倍，地球的半径是该行星半径的2

Question

已知地球半径为R，引力常量为G，地球同步通信卫星周期为T，它离地面的高度约为地球半径的6倍．
（1）求地球的质量；
（2）若地球的质量是某行星质量的16倍，地球的半径是该行星半径的2倍．该行星的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，求该行星的自转周期．

Answer 1

（1）设地球的质量为M，地球同步通信卫星的质量为m，地球同步通信卫星的轨道半径为r，r=7R．
根据万有引力定律和牛顿第二定律有G(Mm)/(r2)＝m(4π2)/(T2)r
解得M=(1372π2R3)/(GT2)
（2）设某行星质量为M′，半径为R′，该行星同步卫星质量为m′，轨道半径为r′，r′=3.5 R′，自转周期为T′，
根据万有引力定律和牛顿第二定律有 G(M′m′)/(r′2)＝m′(4π2)/(T′2)r′
解得T′2＝(4π2r′3)/(GM′)＝(4π2(3.5R′)3)/(GM′)
又因地球同步通信卫星周期T2＝(4π2(7R)3)/(GM)
解得T′=(1)/(2)T．
答：（1）地球的质量为(1372π2R3)/(GT2)．
（2）该行星的自转周期为(1)/(2)T．