A是4阶对称阵,且A^2+A=0,R(A)=3,则A相似于对角阵.

Question

A是4阶对称阵,且A^2+A=0,R(A)=3,则A相似于对角阵___________.

Answer 1

首先有这个结论:若b是矩阵B的特征值,则对多项式f(x),f(b)是f(B)的特征值.
对一般矩阵证明可能要费点功夫,对本题这样的可对角化矩阵相对直接一点.
于是由A²+A=0,A的特征值a满足a²+a=0,只可能为0或-1.
A可对角化,所以代数重数=几何重数.
由r(A)=3,特征值0的几何重数(AX=0的解空间维数)=4-r(A)=1.
剩下的3个特征值都为-1.因此A相似于对角线上为0,-1,-1,-1的对角阵.
(注意其实特征值的顺序可以改变,-1,-1,0,-1之类的答案也可以,彼此都相似).