求数列1a^1+2a^2+3a^3+4a^4+∞a^∞的和如题当a=2的时候,数列的和为2；当a=3的时候,数列和为3/4；当a=4的时候,数列和为1/9我想知道公式是什么：[1,∞]Σ(xa^x)=就好像[1,∞]Σ(a^x)=1/(1-a)

Question

求数列1a^1+2a^2+3a^3+4a^4+∞a^∞的和
如题
当a=2的时候,数列的和为2；当a=3的时候,数列和为3/4；当a=4的时候,数列和为1/9
我想知道公式是什么：[1,∞]Σ(xa^x)=
就好像[1,∞]Σ(a^x)=1/(1-a)

Answer 1

答：
设S=1*a^1+2a^2+3a^3+4a^4+.+na^n
两边同乘以a得：
aS=1*a^2+2a^3+3a^4+4a^5+...+na^(n+1)
两式相减得：
S-aS=a+a^2+a^3+a^4+.+a^n-na^(n+1)
=a*(a^n-1)/(a-1)-na^(n+1)
当a=1时,S=n
当a≠1时：
(1-a)S=[a^(n+1)-a)/(a-1)-a*a^(n+1)
S=[a-a^(n+1)]/(1-a)²-na^(n+1) /(1-a)