已知定义在R上的增函数f（x）满足f（x）>0，且对于任意的m，n∈R都有f（m）•f（n）=f（m+n）．（1）求f（0）的值；（2）求证f(m)f(n)=f（m-n）（m，n∈R）；（3）若f（4）=4，且存在x∈[1，t]（

Question

已知定义在R上的增函数f（x）满足f（x）>0，且对于任意的m，n∈R都有f（m）•f（n）=f（m+n）．
（1）求f（0）的值；
（2）求证(f(m))/(f(n))=f（m-n）（m，n∈R）；
（3）若f（4）=4，且存在x∈[1，t]（t>1）使得f（x²）≤(1)/(8)f（kx），求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）令m=n=0，
则f（0）f（0）=f（0），
定义在R上的增函数f（x）满足f（x）>0，
∴f（0）=1，
（2）∵f（m）•f（n）=f（m+n），
令m=m-n，
则f（m-n）f（n）=f（m），
∴(f(m))/(f(n))=f（m-n）（m，n∈R）；
（3）令m=n=2，则f（2）f（2）=f（4）=4，f（x）>0
∴f（2）=2，
∵f（x²）≤(1)/(8)f（kx），
∴8f（x²）≤f（kx），
∴f（2）•f（4）f（x²）≤f（kx），
∴f（6+x²）≤f（kx），
∵f（x）在在R上为增函数，
∴6+x²≤kx，
∵x∈[1，t]（t>1），
∴k≤(6)/(x)+x，
∴(6)/(x)+x≥2√(x•(6)/(x))=2√(6)，当且仅当x=√(3)取等号，
∴k≤2√(6)，
∴实数k的取值范围（-∞，2√(6)）．