三个线性代数问题（1）：矩阵相似和等价有什么区别?若A和B相似,A和kB相似吗?（2）：Aα=kα非零特征值个数为A的秩这个命题是否正确?n阶矩阵特征值的个数是否为n-r(kE-A)?（3）：n111...11n1

Question

三个线性代数问题
（1）：
矩阵相似和等价有什么区别?若A和B相似,A和kB相似吗?
（2）：
Aα=kα非零特征值个数为A的秩 这个命题是否正确?
n阶矩阵特征值的个数是否为n-r(kE-A)?
（3）：
n 1 1 1 ...1
1 n 1 1 ...1
...
1 1 1 1...n 在算这个矩阵的根2n-1对应特征向量时,我的做法是将所有行加到第一行,将公因数提出后下面所有行依次减第一行.得到：
1 1 1..1
0 n 0...0
...
0 0 0 ...n
而答案得到的是：
0 0 0 ...0
-1 1 0...0
0 -1 1...0
...
-1 0 0...1
我是不是想错了,错在哪里?

Answer 1

1.矩阵等价是指矩阵可以通过初等变换计算出来,用式子表示是存在可逆矩阵PQ使A=PBQ
矩阵相似是存在可逆矩阵P使P^-1 A P=B
换言之,矩阵相似则矩阵等价,矩阵等价不一定相似.
2.显然不等,不过kA相似kB
3.错,A如果可逆或者可对角化（A的行列式不等于0）则A的秩等于A的非零特征值数量,否则A的秩大于等于A的非零特征值数量.
4.这是3的逆命题
5.兄弟我没明白你代入到哪里去了,所以无法指出你错在哪里.
对于Ax=mx,使得(mE-A)x=0则m为特征值,x为对应特征向量
使m=2n-1,则矩阵mE-A=
n-1 -1 .-1
-1 n-1 .-1
.
-1 -1 .n-1
第2到n列加到第一列,再把第1行的-1倍加到每一行,有
0 -1 .-1
0 n .0
.
0 0 .n
所以特征向量为c1（1 0 .0)^T